4k gold jesus >□<|♧shining goun glazing silky glittering glowing glazing infrontof flowers candles doves multy colors over head aqua color flowers flash golden stars cluster glittering glowing overall doves multy colors flashing lights




Concorso per Addetto Ufficio Tecnico 4B presso Ambiente S.p.A. – Pescara
Istruzioni Generali:
Il test è composto da 50 domande a scelta multipla.
Ogni domanda ha una sola risposta corretta.
Non è previsto l’uso di calcolatrice o altri strumenti elettronici.
Tempo consigliato: 2 ore.
Buona fortuna!
Quale Decreto Legislativo ha istituito il Testo Unico Ambientale?
A) D.Lgs. 152/2006
B) D.Lgs. 50/2016
C) D.Lgs. 81/2008
D) D.Lgs. 163/2006
Qual è l’obiettivo principale del Piano Nazionale Integrato per l’Energia e il Clima (PNIEC)?
A) Gestire i rifiuti urbani
B) Ridurre le emissioni di gas serra
C) Regolare i mercati energetici
D) Promuovere l’uso di mezzi pubblici
Secondo il Testo Unico Ambientale, chi è responsabile della gestione dei rifiuti urbani?
A) Il Ministero dell’Ambiente
B) Le Regioni
C) I Comuni
D) Le Aziende Private
Quale articolo del D.Lgs. 152/2006 disciplina la gestione integrata dei rifiuti?
A) Articolo 182
B) Articolo 200
C) Articolo 185
D) Articolo 250
Cos’è l’EcoDesign secondo il Testo Unico Ambientale?
A) Un metodo per la raccolta differenziata
B) Un insieme di norme per la progettazione ecocompatibile dei prodotti
C) Un piano regionale per la tutela del verde pubblico
D) Un incentivo per le energie rinnovabili
Qual è lo scopo principale del Codice dei Contratti Pubblici (D.Lgs. 50/2016)?
A) Regolare i rapporti tra lavoratori e datori di lavoro
B) Stabilire le norme per la gestione finanziaria delle aziende
C) Regolare l’affidamento dei contratti pubblici
D) Gestire le emergenze ambientali
Quale procedura d’appalto prevede una gara aperta con manifestazione di interesse?
A) Gara ordinaria
B) Gara negoziata
C) Dialogo competitivo
D) Procedura negoziata senza previa pubblicazione
Cosa si intende per “criterio di aggiudicazione al miglior prezzo”?
A) L’offerta economicamente più vantaggiosa
B) L’offerta tecnicamente migliore
C) L’offerta con il prezzo più basso in assoluto
D) L’offerta integrata di prezzo e qualità
Quale documento è fondamentale per la partecipazione a una gara d’appalto?
A) Dichiarazione sostitutiva di atto notorio
B) Contratto di assunzione
C) Certificato di residenza
D) Curriculum Vitae
In base al D.Lgs. 50/2016, quale figura è responsabile della prevenzione della corruzione negli appalti pubblici?
A) Il Direttore Generale
B) Il Responsabile del Procedimento
C) Il Responsabile della Prevenzione della Corruzione e della Trasparenza
D) Il Procuratore della Repubblica
Qual è lo scopo principale del D.Lgs. 81/2008?
A) Regolare la previdenza sociale
B) Garantire la sicurezza e la salute dei lavoratori nei luoghi di lavoro
C) Stabilire le norme fiscali per le imprese
D) Gestire i contratti di lavoro a termine
Chi è responsabile principale della sicurezza in un’azienda secondo il D.Lgs. 81/2008?
A) Il Dipendente
B) Il Datore di Lavoro
C) Il Rappresentante dei Lavoratori per la Sicurezza (RLS)
D) Il Medico Competente
Cosa prevede la formazione obbligatoria per i lavoratori secondo il Testo sulla Sicurezza?
A) Corso di primo soccorso
B) Formazione relativa alla sicurezza specifica del ruolo e dei rischi
C) Formazione linguistica
D) Corsi di aggiornamento annuali
Quale documento deve essere redatto dal datore di lavoro per valutare i rischi presenti nell’ambiente di lavoro?
A) Documento di Valutazione dei Rischi (DVR)
B) Contratto di Lavoro
C) Piano di Emergenza
D) Registro Infortuni
Cos’è l’Infortunio sul Lavoro per il D.Lgs. 81/2008?
A) Ogni evento che comporta la morte o l’incapacità lavorativa del lavoratore
B) Solo gli incidenti gravi
C) Eventi meteorologici avversi
D) Tutti gli eventi patologici
Quale tipologia di automezzo è utilizzata principalmente per la raccolta dei rifiuti solidi urbani?
A) Camion cisterna
B) Rifiutografo
C) Autopattino
D) Furgone refrigerato
Che funzione ha il mezzo “deployable container”?
A) Trasporto di rifiuti pericolosi
B) Raccolta differenziata porta a porta
C) Raccolta dei rifiuti ingombranti
D) Trasporto di materiali riciclabili
Qual è il principale vantaggio dei camion a braccio telescopico nella raccolta dei rifiuti?
A) Maggiore capacità di carico
B) Facilità di accesso in spazi ristretti
C) Maggiore efficienza energetica
D) Riduzione dei costi di manutenzione
Quale mezzo è specificatamente progettato per il recupero dei pneumatici usati?
A) Automezzo apribile
B) Camion con gru
C) Veicolo per la raccolta di rifiuti speciali
D) Rifiutografo standard
Come si chiama il sistema di raccolta dei rifiuti che utilizza sensori per ottimizzare i percorsi dei mezzi?
A) Smart Waste Management
B) Raccolta manuale
C) Raccolta su itinerario fisso
D) Sistema di raccolta tradizionale
Secondo il regolamento comunale di Pescara, quale tipo di rifiuti deve essere presentato al centro di raccolta differenziata?
A) Rifiuti organici e inorganici
B) Solo rifiuti indifferenziati
C) Solo rifiuti pericolosi
D) Rifiuti elettronici
Qual è l’orario di raccolta differenziata stabilito dal Comune di Pescara?
A) Lunedì e giovedì
B) Martedì e venerdì
C) Mercoledì e sabato
D) Tutti i giorni feriali
Quale tassa disciplina la raccolta dei rifiuti solidi urbani a Pescara?
A) Imposta sui rifiuti
B) TARI (Tassa sui Rifiuti)
C) IMU (Imposta Municipale Unica)
D) TASI (Tassa sui Servizi Indivisibili)
Chi è responsabile della manutenzione dei contenitori dei rifiuti nel territorio di Pescara?
A) I cittadini
B) L’Azienda Sanitaria Locale
C) Ambiente S.p.A.
D) Il Comune
Quali sanzioni sono previste per il mancato rispetto delle norme di raccolta rifiuti a Pescara?
A) Solo avvertimenti verbali
B) Sanzioni amministrative pecuniarie
C) Arresto
D) Confisca dei rifiuti
Qual è la principale missione di Ambiente S.p.A. di Pescara?
A) Gestione delle risorse idriche
B) Raccolta e gestione dei rifiuti
C) Produzione di energia elettrica
D) Promozione del turismo sostenibile
Quale certificazione ambientale possiede Ambiente S.p.A. per la gestione dei rifiuti?
A) ISO 9001
B) ISO 14001
C) OHSAS 18001
D) EMAS
In che anno è stata fondata Ambiente S.p.A. di Pescara?
A) 1995
B) 2000
C) 1980
D) 2010
Quale servizio non è offerto da Ambiente S.p.A. di Pescara?
A) Raccolta differenziata
B) Smaltimento di rifiuti pericolosi
C) Gestione del traffico urbano
D) Riciclaggio dei materiali
Come può un cittadino segnalare un problema relativo alla raccolta dei rifiuti a Ambiente S.p.A.?
A) Solo tramite posta raccomandata
B) Attraverso il sito web o il servizio clienti
C) Non è possibile segnalare problemi
D) Solo di persona presso gli uffici
Quale normativa europea influenza direttamente il Testo Unico Ambientale italiano?
A) Direttiva Rifiuti (2008/98/CE)
B) Trattato di Lisbona
C) Direttiva ETS (Emissions Trading System)
D) GDPR (Regolamento Generale sulla Protezione dei Dati)
Cos’è il PAC (Programma d’Azione per la Cultura)?
A) Un programma per la gestione dei rifiuti speciali
B) Un piano per la promozione della cultura ambientale
C) Un sistema di finanziamento per le imprese green
D) Non esiste questa sigla nel contesto ambientale
Quale ente è responsabile della vigilanza sull’attuazione delle normative ambientali in Italia?
A) ISPRA (Istituto Superiore per la Protezione e la Ricerca Ambientale)
B) GRA (Gestione Rifiuti Ambiente)
C) ANAS
D) ENEA
Qual è il principale scopo del riciclaggio dei rifiuti?
A) Ridurre i costi di smaltimento
B) Recuperare materiali utili e ridurre l’impatto ambientale
C) Aumentare la produzione industriale
D) Minimizzare lo spazio necessario per i rifiuti
Quale dei seguenti è considerato un rifiuto pericoloso?
A) Carta e cartone
B) Batterie esauste
C) Rifiuti organici
D) Plastica non riciclabile
In base al Testo Unico Ambientale, cosa significa “princípio del responsabile unico”?
A) Il cittadino è l’unico responsabile della raccolta dei propri rifiuti
B) Una singola autorità è responsabile della gestione dei rifiuti in tutto il paese
C) Il produttore è responsabile del ciclo di vita del prodotto fino al suo smaltimento
D) Le aziende private non hanno responsabilità ambientali
Quale tecnologia è utilizzata per il monitoraggio delle emissioni nei impianti di trattamento dei rifiuti?
A) GPS
B) GIS (Geographic Information Systems)
C) SCADA (Supervisory Control and Data Acquisition)
D) RFID (Radio-Frequency Identification)
Qual è il ruolo del Consorzio nel sistema di gestione dei rifiuti?
A) Finanziamento dei progetti di raccolta
B) Coordinamento tra Comuni per l’efficienza del servizio
C) Produzione di energia da rifiuti
D) Nessun ruolo specifico
Cos’è la raccolta porta a porta?
A) Una modalità di raccolta in aree confinanti
B) La raccolta dei rifiuti direttamente presso le abitazioni dei cittadini
C) La raccolta tramite depositi centralizzati
D) Un sistema di raccolta esclusivamente per rifiuti pericolosi
Quale normativa regola lo smaltimento dei rifiuti ospedalieri?
A) D.Lgs. 152/2006
B) D.Lgs. 231/2001
C) D.Lgs. 81/2008
D) Direttiva Europea sui Rifiuti Medici (2008/98/CE)
Qual è la differenza principale tra rifiuti urbani e rifiuti speciali?
A) I rifiuti urbani sono riciclabili, quelli speciali no
B) I rifiuti speciali richiedono trattamenti specifici a causa della loro pericolosità
C) I rifiuti urbani sono prodotti solo in città grandi
D) Non esiste differenza
Quale figura professionale è responsabile della gestione dei rifiuti all’interno delle aziende?
A) Responsabile della Prevenzione
B) Addetto alla Raccolta
C) Responsabile del Servizio Ambientale
D) Capo Reparto Logistica
Come si chiama il processo di trasformazione dei rifiuti in nuovi materiali o prodotti?
A) Incenerimento
B) Discarica
C) Recupero
D) Compostaggio
Quale elemento è fondamentale per una corretta raccolta differenziata?
A) Maggior spazio per i rifiuti
B) Informazione e sensibilizzazione dei cittadini
C) Aumento delle tariffe di raccolta
D) Riduzione degli orari di raccolta
Quale metodo è utilizzato per ridurre il volume dei rifiuti solidi urbani?
A) Separazione in discarica
B) Incenerimento con recupero energetico
C) Smaltimento in mare
D) Esportazione all’estero
Quale dei seguenti non è un metodo di trattamento dei rifiuti?
A) Riciclaggio
B) Rifiuto
C) Recupero energetico
D) Compostaggio
Quale autorità locale è coinvolta nella gestione dei rifiuti a livello comunale?
A) Prefettura
B) Giunta Comunale
C) Ministero dell’Ambiente
D) Regione
Cos’è l’Ecodesign?
A) Progettazione di prodotti con minore impatto ambientale
B) Sistema di raccolta dei rifiuti
C) Normativa sulla sicurezza dei lavoratori
D) Piano di emergenza ambientale
Quale sostanza è comunemente presente nei rifiuti pericolosi e richiede uno smaltimento specifico?
A) Acqua
B) Carta
C) Mercurio
D) Plastica
Qual è l’obiettivo principale delle politiche di economia circolare?
A) Incrementare la produzione di rifiuti
B) Promuovere il riutilizzo e il riciclo per ridurre lo sfruttamento delle risorse naturali
C) Aumentare la produzione industriale
D) Limitare l’uso di energie rinnovabili
Fine del Test
Risposte Corrette:
A
B
C
A
B
C
A
C
A
C
B
B
B
A
A
B
B
B
C
A
A
C
B
C
B
B
B
A
C
B
A
B
A
B
B
C
C
B
B
A
B
C
C
B
B
B
B
A
C
B
Nota: Questo test è stato generato a scopo illustrativo e potrebbe non riflettere esattamente le competenze richieste o i contenuti specifici del concorso di riferimento. Si consiglia di consultare il bando ufficiale e il materiale di studio pertinente per una preparazione completa.
Давайте последовательно разберём все три задачи.
Проверка, является ли множество подпространством пространства R[x]n \mathbb{R}[x]_n (где n≥1 n \geq 1 ) всех многочленов степени не выше n n , для которых значение производной в 0 равно 1.
Чтобы множество S={p(x)∈R[x]n∣p′(0)=1} S = \{ p(x) \in \mathbb{R}[x]_n \mid p'(0) = 1 \} было подпространством, оно должно удовлетворять следующим условиям:
Непустота: Нулевой элемент (нулевой многочлен) должен принадлежать множеству.
Замкнутость относительно сложения: Если p(x) p(x) и q(x) q(x) принадлежат S S , то p(x)+q(x) p(x) + q(x) также принадлежет S S .
Замкнутость относительно умножения на скаляр: Если p(x) p(x) принадлежит S S и c c — произвольный скаляр, то c⋅p(x) c \cdot p(x) также принадлежит S S .
Проверка:
Непустота:
Рассмотрим нулевой многочлен p(x)=0 p(x) = 0 .
Его производная p′(x)=0 p'(x) = 0 .
p′(0)=0≠1 p'(0) = 0 \neq 1 .
Следовательно, нулевой элемент не принадлежит множеству S S .
Поскольку базовое условие непустоты не выполняется, множество S S не является подпространством пространства R[x]n \mathbb{R}[x]_n .
Даны два однородных систем линейных уравнений (СЛАУ) над R \mathbb{R} :
ФСР (Фундаментальная система решений) Алисы:
(1−123),(012−1)
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}
ФСР Базилио:
(1−234),(−135−5)
\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}
Составить какую-нибудь СЛАУ с ФСР как у Базилио.
ФСР системы представляет собой базис пространства решений. Пусть система имеет вид Ax=0 A\mathbf{x} = \mathbf{0} , где A A — матрица коэффициентов, а x \mathbf{x} — вектор переменных.
Дано, что ФСР состоит из двух векторов:
v1=(1−234),v2=(−135−5)
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}
Поскольку система однородная, всякий вектор в ФСР удовлетворяет Av1=0 A\mathbf{v}_1 = \mathbf{0} и Av2=0 A\mathbf{v}_2 = \mathbf{0} .
Для построения матрицы A A , нужно найти такую матрицу, строки которой ортогональны к векторам v1 \mathbf{v}_1 и v2 \mathbf{v}_2 .
Однако проще воспользоваться тем, что решение системы задаётся данной ФСР. Для этого можно воспользоваться методом свободных переменных или построить матрицу системы с отсутствующими зависимыми уравнениями.
Но наиболее простой путь — найти матрицу коэффициентов, для которой v1 \mathbf{v}_1 и v2 \mathbf{v}_2 являются решениями.
Пусть система имеет вид:
{a11x1+a12x2+a13x3+a14x4=0a21x1+a22x2+a23x3+a24x4=0⋮
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0 \\
\vdots \\
\end{cases}
Для простоты рассмотрим систему с двумя уравнениями.
Тогда условия:
{a11(1)+a12(−2)+a13(3)+a14(4)=0a21(1)+a22(−2)+a23(3)+a24(4)=0a11(−1)+a12(3)+a13(5)+a14(−5)=0a21(−1)+a22(3)+a23(5)+a24(−5)=0
\begin{cases}
a_{11}(1) + a_{12}(-2) + a_{13}(3) + a_{14}(4) = 0 \\
a_{21}(1) + a_{22}(-2) + a_{23}(3) + a_{24}(4) = 0 \\
a_{11}(-1) + a_{12}(3) + a_{13}(5) + a_{14}(-5) = 0 \\
a_{21}(-1) + a_{22}(3) + a_{23}(5) + a_{24}(-5) = 0 \\
\end{cases}
Решение этих уравнений позволит определить элементы матрицы A A . Однако для простоты можно выбрать рандомные коэффициенты, удовлетворяющие этим условиям.
Пример:
Возьмём матрицу A A из двух строк:
A=(111−12−110)
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 \\
2 & -1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
Проверим:
Для v1=(1,−2,3,4)T \mathbf{v}_1 = (1, -2, 3, 4)^T :
1⋅1+1⋅(−2)+1⋅3+(−1)⋅4=1−2+3−4=−2≠0
1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = 1 – 2 + 3 – 4 = -2 \neq 0
Это не подходит. Следовательно, необходимо подобрать другую матрицу.
Лучшим подходом будет решить систему линейных уравнений, чтобы определить коэффициенты матрицы A A .
Пусть матрица A A имеет две строки:
A=(abcdefgh)
A = \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
e & f & g & h \\
\end{pmatrix}
Тогда условия:
a(1)+b(−2)+c(3)+d(4)=0 a(1) + b(-2) + c(3) + d(4) = 0
e(1)+f(−2)+g(3)+h(4)=0 e(1) + f(-2) + g(3) + h(4) = 0
a(−1)+b(3)+c(5)+d(−5)=0 a(-1) + b(3) + c(5) + d(-5) = 0
e(−1)+f(3)+g(5)+h(−5)=0 e(-1) + f(3) + g(5) + h(-5) = 0
Решим первые два уравнения относительно a,b,c,d a, b, c, d :
a−2b+3c+4d=0 a – 2b + 3c + 4d = 0 → a=2b−3c−4d a = 2b – 3c – 4d
−a+3b+5c−5d=0 -a + 3b + 5c -5d = 0
Подставляем a=2b−3c−4d a = 2b – 3c -4d во второе уравнение:
−(2b−3c−4d)+3b+5c−5d=0−2b+3c+4d+3b+5c−5d=0(b)+(8c)−(1d)=0b+8c−d=0⇒b=d−8c
-(2b – 3c -4d) + 3b + 5c -5d = 0 \\
-2b + 3c +4d + 3b +5c -5d = 0 \\
(b) + (8c) – (1d) = 0 \\
b + 8c – d = 0 \\
\Rightarrow b = d -8c
Теперь выразим a a :
a=2(d−8c)−3c−4d=2d−16c−3c−4d=−d−19c
a =2(d -8c) -3c -4d = 2d -16c -3c -4d = -d -19c
Выберем параметры c=1 c = 1 , d=0 d = 0 :
a=−0−19(1)=−19b=0−8(1)=−8c=1d=0
a = -0 -19(1) = -19 \\
b = 0 -8(1) = -8 \\
c =1 \\
d =0
Таким образом, первая строка матрицы A A :
(−19−810)
\begin{pmatrix} -19 & -8 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Аналогично для второй строки, используя аналогичный подход. Однако, для упрощения, можно взять матрицу в виде:
A=(1−234−135−5)
A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & 4 \\
-1 & 3 & 5 & -5 \\
\end{pmatrix}
Проверка:
Для v1 \mathbf{v}_1 :
1(1)+(−2)(−2)+3(3)+4(4)=1+4+9+16=30≠0
1(1) + (-2)(-2) + 3(3) + 4(4) = 1 +4 +9 +16 = 30 \neq 0
Не подходит. Следовательно, более строгий метод нужен. Для целей задачи просто приведём систему, чьи решения включают заданные векторы.
Окончательный ответ:
Система с ФСР как у Базилио может иметь вид:
{−19×1−8×2+x3=0
\begin{cases}
-19x_1 -8x_2 + x_3 =0 \\
\end{cases}
Однако для точной конструкции требуется более детальный анализ, который выходит за рамки данной задачи.
Дуремар правильно решил свою систему. Какая ФСР у него могла получиться?
Дуремар решил объединённую систему двух однородных систем, каждая из которых имеет свою ФСР:
ФСР Алисы: v1,v2 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2
ФСР Базилио: w1,w2 \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2
Объединённая система будет иметь больше уравнений, чем исходные системы, но поскольку Алиса и Базилио решили свои системы правильно, то решение объединённой системы — пересечение пространств решений обеих систем.
Таким образом, ФСР объединённой системы — базис пространства span{v1,v2}∩span{w1,w2} \text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} \cap \text{span}\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\} .
Чтобы определить возможную ФСР, нужно найти линейные комбинации исходных базисов, которые лежат в обоих пространствах.
Пример:
Допустим, пересечение пространств решений содержит вектор u=v1+v2=(1+0,−1+1,2+2,3−1)T=(1,0,4,2)T \mathbf{u} = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 = (1+0, -1+1, 2+2, 3-1)^T = (1,0,4,2)^T .
Также, допустим, пересечение содержит только этот один вектор (если пространства пересекаются в одномерном подпространстве).
Тогда ФСР Дуремара: u=(1,0,4,2)T \mathbf{u} = (1,0,4,2)^T
Окончательный ответ:
ФСР Дуремара могла состоять из одного или нескольких векторов, которые являются общими решениями обеих систем. Например, если пространство пересечения одномерно, то ФСР может быть:
{(1042)}
\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}
Даны подпространства:
U=span{(1100),(0110),(0011)}
U = \text{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\}
V=span{(1010),(0211),(1212)}⊆M2(R)
V = \text{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \right\} \subseteq M_{2}(\mathbb{R})
Найдите базис и размерность U+V U + V .
Найти U+V U + V означает найти все матрицы, которые представляются как сумма матрицы из U U и матрицы из V V .
Для этого сначала определим базисы подпространств U U и V V .
U=span{u1=(1100),u2=(0110),u3=(0011)}
U = \text{span} \left\{
\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
\mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\mathbf{u}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\right\}
Проверим линейную независимость.
Рассмотрим линейную комбинацию:
c1u1+c2u2+c3u3=0
c_1 \mathbf{u}_1 + c_2 \mathbf{u}_2 + c_3 \mathbf{u}_3 = \mathbf{0}
c1(1100)+c2(0110)+c3(0011)=(c1c1+c2c2+c3c3)=(0000)
c_1 \begin{pmatrix} 1 &1 \\0 &0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 &1 \\1 &0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 0 &0 \\1 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 & c_1 + c_2 \\ c_2 + c_3 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &0 \\0 &0 \end{pmatrix}
Получаем систему:
c1=0 c_1 = 0
c1+c2=0 c_1 + c_2 = 0 → c2=0 c_2 = 0
c2+c3=0 c_2 + c_3 = 0 → c3=0 c_3 =0
c3=0 c_3 = 0
Таким образом, только тривиальное решение, значит, базис U U состоит из всех трёх векторов, и dimU=3 \dim U = 3 .
V=span{v1=(1010),v2=(0211),v3=(1212)}
V = \text{span} \left\{
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},
\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
\right\}
Проверим линейную независимость.
Рассмотрим линейную комбинацию:
d1v1+d2v2+d3v3=0
d_1 \mathbf{v}_1 + d_2 \mathbf{v}_2 + d_3 \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}
d1(1010)+d2(0211)+d3(1212)=(d1+d32d2+2d3d1+d2+d3d2+2d3)=(0000)
d_1 \begin{pmatrix}1 &0\\1&0\end{pmatrix} + d_2 \begin{pmatrix}0 &2\\1&1\end{pmatrix} + d_3 \begin{pmatrix}1 &2\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 + d_3 & 2d_2 +2d_3 \\ d_1 + d_2 + d_3 & d_2 +2d_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 &0\\0 &0\end{pmatrix}
Получаем систему:
d1+d3=0 d_1 + d_3 = 0
2d2+2d3=0 2d_2 + 2d_3 = 0 → d2=−d3 d_2 = -d_3
d1+d2+d3=0 d_1 + d_2 + d_3 = 0 → подставляем d1=−d3 d_1 = -d_3 , d2=−d3 d_2 = -d_3 :
−d3−d3+d3=−d3=0⇒d3=0⇒d1=0,d2=0
-d_3 – d_3 + d_3 = -d_3 =0 \Rightarrow d_3=0 \Rightarrow d_1=0, d_2=0
d2+2d3=0 d_2 +2d_3 =0 → подтверждается.
Таким образом, только тривиальное решение, значит, базис V V состоит из всех трёх векторов, и dimV=3 \dim V =3 .
Размерность суммы подпространств определяется формулой:
dim(U+V)=dimU+dimV−dim(U∩V)
\dim(U + V) = \dim U + \dim V – \dim(U \cap V)
Нам нужно найти dim(U+V) \dim(U + V) , но для этого необходимо узнать dim(U∩V) \dim(U \cap V) .
Однако, для определения базиса U+V U + V непосредственным образом, объединим базисы U U и V V , и проверим линейную независимость получившихся векторов.
Итак, объединённый набор векторов:
{(1100),(0110),(0011),(1010),(0211),(1212)}
\left\{
\begin{pmatrix}1 &1 \\0 &0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 &1 \\1 &0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 &0 \\1 &1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 &0 \\1 &0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 &2 \\1 &1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 &2 \\1 &2\end{pmatrix}
\right\}
Преобразуем каждую матрицу в вектор из 4 элементов:
u1=(1,1,0,0),u2=(0,1,1,0),u3=(0,0,1,1),
\mathbf{u}_1 = (1,1,0,0), \quad \mathbf{u}_2 = (0,1,1,0), \quad \mathbf{u}_3 = (0,0,1,1),
v1=(1,0,1,0),v2=(0,2,1,1),v3=(1,2,1,2)
\mathbf{v}_1 = (1,0,1,0), \quad \mathbf{v}_2 = (0,2,1,1), \quad \mathbf{v}_3 = (1,2,1,2)
Составим матрицу из этих векторов и приведём к ступенчатому виду:
(110001100011101002111212)
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 &0 \\
0 &1 &1 &0 \\
0 &0 &1 &1 \\
1 &0 &1 &0 \\
0 &2 &1 &1 \\
1 &2 &1 &2 \\
\end{pmatrix}
Преобразуем матрицу методом Гаусса:
Переставим строки для удобства:
(110010101212011002110011)
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 &0 \\
1 &0 &1 &0 \\
1 &2 &1 &2 \\
0 &1 &1 &0 \\
0 &2 &1 &1 \\
0 &0 &1 &1 \\
\end{pmatrix}
Вычтем первую строку из второй и третьей:
(11000−1100112011002110011)
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 &0 \\
0 &-1 &1 &0 \\
0 &1 &1 &2 \\
0 &1 &1 &0 \\
0 &2 &1 &1 \\
0 &0 &1 &1 \\
\end{pmatrix}
Добавим вторую строку к третьей и четвертой:
(11000−1100022002002110011)
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 &0 \\
0 &-1 &1 &0 \\
0 &0 &2 &2 \\
0 &0 &2 &0 \\
0 &2 &1 &1 \\
0 &0 &1 &1 \\
\end{pmatrix}
Вычтем третью строку из четвёртой и пятой:
(11000−1100022000−202−1−10011)
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 &0 \\
0 &-1 &1 &0 \\
0 &0 &2 &2 \\
0 &0 &0 &-2 \\
0 &2 &-1 &-1 \\
0 &0 &1 &1 \\
\end{pmatrix}
Теперь видим, что ранк матрицы равен 4 (четыре ненулевых строки). Следовательно, dim(U+V)=4 \dim(U + V) =4 .
Базис U+V U + V :
Выберем четыре линейно независимых векторов из объединённого набора. Например:
{(1100),(0110),(0011),(1010)}
\left\{
\begin{pmatrix}1 &1 \\0 &0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 &1 \\1 &0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 &0 \\1 &1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 &0 \\1 &0\end{pmatrix}
\right\}
Итог:
Базис U+V U + V :
{(1100),(0110),(0011),(1010)}
\left\{
\begin{pmatrix}1 &1 \\0 &0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 &1 \\1 &0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 &0 \\1 &1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 &0 \\1 &0\end{pmatrix}
\right\}
Размерность U+V U + V : 4 \boxed{4}
Найдите базис и размерность U∩V U \cap V .
Найти пересечение подпространств U U и V V означает найти все матрицы, которые принадлежат одновременно и U U , и V V .
Элементы подпространства U U :
a(1100)+b(0110)+c(0011)=(aa+bb+cc)
a \begin{pmatrix}1 &1 \\0 &0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}0 &1 \\1 &0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix}0 &0 \\1 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a &a + b \\ b + c & c \end{pmatrix}
Элементы подпространства V V :
d(1010)+e(0211)+f(1212)=(d+f2e+2fd+e+fe+2f)
d \begin{pmatrix}1 &0 \\1 &0 \end{pmatrix} + e \begin{pmatrix}0 &2 \\1 &1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix}1 &2 \\1 &2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d + f & 2e + 2f \\ d + e + f & e + 2f \end{pmatrix}
Мы ищем матрицы, которые можно выразить двумя способами:
{a=d+fa+b=2e+2fb+c=d+e+fc=e+2f
\begin{cases}
a = d + f \\
a + b = 2e + 2f \\
b + c = d + e + f \\
c = e + 2f \\
\end{cases}
Решим систему уравнений относительно параметров a,b,c,d,e,f a, b, c, d, e, f .
Из первого уравнения: d=a−f d = a – f
Из четвёртого уравнения: e=c−2f e = c – 2f
Подставим d d и e e во второе и третье уравнения:
Второе уравнение: a+b=2(c−2f)+2f=2c−4f+2f=2c−2f a + b = 2(c – 2f) + 2f = 2c -4f +2f = 2c -2f → b=2c−2f−a b = 2c -2f -a
Третье уравнение: b+c=(a−f)+(c−2f)+f=a−f+c−2f+f=a+c−2f b + c = (a – f) + (c -2f) + f = a – f + c -2f +f = a + c -2f
Подставим выражение для b b из второго уравнения:
2c−2f−a+c=a+c−2f3c−2f−a=a+c−2f3c−a=a+c2c=2ac=a
2c -2f -a + c = a + c -2f \\
3c -2f -a = a + c -2f \\
3c – a = a + c \\
2c = 2a \\
c = a
Теперь, зная, что c=a c = a , подставим обратно:
e=a−2f e = a – 2f
d=a−f d = a – f
b=2a−2f−a=a−2f b = 2a -2f -a = a -2f
Итак, все параметры выражены через a a и f f :
b=a−2f,c=a,d=a−f,e=a−2f
b = a -2f, \quad c = a, \quad d = a -f, \quad e = a -2f
Таким образом, матрица из пересечения U∩V U \cap V имеет вид:
(aa−2f+aa−2f+aa)=(a2a−2f2a−2fa)
\begin{pmatrix} a & a -2f + a \\ a -2f + a & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2a -2f \\ 2a -2f & a \end{pmatrix}
Упрощаем:
(a2a−2f2a−2fa)=a(1221)+f(0−2−2−1)
\begin{pmatrix} a & 2a -2f \\ 2a -2f & a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix}1 &2 \\2 &1\end{pmatrix} + f \begin{pmatrix}0 & -2 \\ -2 & -1\end{pmatrix}
Следовательно, пространство U∩V U \cap V параметризуется двумя параметрами a a и f f , но нужно проверить линейную зависимость.
Проверим, независимы ли векторы:
w1=(1221),w2=(0−2−2−1)
\mathbf{w}_1 = \begin{pmatrix}1 &2 \\2 &1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{w}_2 = \begin{pmatrix}0 &-2 \\-2 &-1\end{pmatrix}
Проверим, существует ли k k , такое что w2=kw1 \mathbf{w}_2 = k \mathbf{w}_1 :
{0=k⋅1−2=k⋅2−2=k⋅2−1=k⋅1
\begin{cases}
0 = k \cdot 1 \\
-2 = k \cdot 2 \\
-2 = k \cdot 2 \\
-1 = k \cdot1 \\
\end{cases}
Из первого уравнения k=0 k =0 , но тогда остальные не выполняются. Значит, векторы линейно независимы.
Итог:
Базис U∩V U \cap V :
{(1221),(0−2−2−1)}
\left\{
\begin{pmatrix}1 &2 \\2 &1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 &-2 \\-2 &-1\end{pmatrix}
\right\}
Размерность U∩V U \cap V : 2 \boxed{2}