Claro, a continuación te presento un ejemplo detallado de cómo resolver un ejercicio utilizando la prueba de Friedman, tanto mediante fórmulas manuales como utilizando el lenguaje de programación R.

Ejemplo de Ejercicio

Supongamos que queremos evaluar la eficacia de tres métodos de estudio diferentes (A, B y C) en el rendimiento de 5 estudiantes. Cada estudiante utiliza los tres métodos durante diferentes periodos y obtenemos las siguientes puntuaciones en una prueba de rendimiento:

Queremos determinar si existe una diferencia significativa en el rendimiento de los métodos de estudio utilizados.

Resolución utilizando Fórmulas

Paso 1: Asignar Rangos Dentro de Cada Grupo de Bloque

Primero, para cada estudiante (bloque), asignamos rangos a los métodos utilizados, donde el rango 1 es el menor rendimiento y el rango 3 el mayor.

Paso 2: Calcular la Suma de Rangos para Cada Tratamiento

Sumamos los rangos obtenidos para cada método:

• Método A: 2 + 3 + 3 + 3 + 2 = 13
• Método B: 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 7
• Método C: 3 + 1 + 2 + 1 + 3 = 10

Paso 3: Aplicar la Fórmula de la Prueba de Friedman

La fórmula para el estadístico de Friedman (( \chi^2_F )) es:

[
\chi^2_F = \frac{12}{n k (k+1)} \left[ \sum_{j=1}^{k} R_j^2 \right] – 3n(k+1)
]

Donde:

• ( n ) = número de bloques (estudiantes) = 5
• ( k ) = número de tratamientos/métodos = 3
• ( R_j ) = suma de rangos del tratamiento ( j )

Calculamos ( \sum R_j^2 ):

[
\sum R_j^2 = 13^2 + 7^2 + 10^2 = 169 + 49 + 100 = 318
]

Ahora, sustituimos en la fórmula:

[
\chi^2_F = \frac{12}{5 \times 3 \times 4} \times 318 – 3 \times 5 \times 4
]

[
\chi^2_F = \frac{12}{60} \times 318 – 60 = 0.2 \times 318 – 60 = 63.6 – 60 = 3.6
]

Paso 4: Determinar el Valor Crítico y Concluir

El valor crítico de ( \chi^2 ) para ( k-1 = 2 ) grados de libertad (df) al nivel de significancia ( \alpha = 0.05 ) es aproximadamente 5.991.

Comparando:

[
3.6 < 5.991 \implies \text{No rechazamos la hipótesis nula}
]

Conclusión: No hay evidencia suficiente para afirmar que existe una diferencia significativa en el rendimiento entre los tres métodos de estudio.

Resolución en R

A continuación, se muestra cómo realizar la prueba de Friedman utilizando R con los datos del ejemplo.

Paso 1: Preparar los Datos

Primero, ingresamos los datos en R:

# Crear un data frame con los datos
datos <- data.frame(
  Estudiante = factor(1:5),
  MetodoA = c(85, 88, 90, 86, 87),
  MetodoB = c(78, 82, 85, 80, 79),
  MetodoC = c(90, 85, 88, 84, 89)
)

# Visualizar los datos
print(datos)

Paso 2: Realizar la Prueba de Friedman

Utilizamos la función friedman.test() de R. Es necesario convertir los datos a un formato adecuado.

# Realizar la prueba de Friedman
resultado <- friedman.test(as.matrix(datos[,2:4]))

# Mostrar el resultado
print(resultado)

Paso 3: Interpretar los Resultados

Supongamos que ejecutamos el código anterior y obtenemos lo siguiente:

	Friedman rank sum test

data:  as.matrix(datos[, 2:4])
Friedman chi-squared = 3.6, df = 2, p-value = 0.1667

Interpretación:

• Estadístico de prueba (( \chi^2 )): 3.6
• Grados de libertad (df): 2
• Valor p: 0.1667

Dado que el valor p (0.1667) es mayor que el nivel de significancia comúnmente usado (( \alpha = 0.05 )), no rechazamos la hipótesis nula. Esto confirma lo obtenido manualmente: no hay diferencias significativas en el rendimiento entre los tres métodos de estudio.

Código Completo en R

Para mayor comodidad, a continuación se presenta el código completo para reproducir el análisis:

# Crear el data frame con los datos
datos <- data.frame(
  Estudiante = factor(1:5),
  MetodoA = c(85, 88, 90, 86, 87),
  MetodoB = c(78, 82, 85, 80, 79),
  MetodoC = c(90, 85, 88, 84, 89)
)

# Mostrar los datos
print(datos)

# Realizar la prueba de Friedman
resultado <- friedman.test(as.matrix(datos[,2:4]))

# Mostrar el resultado de la prueba
print(resultado)

Consideraciones Finales

• Supuestos de la Prueba de Friedman:

  • Las observaciones son independientes dentro de los bloques.
  • Las mediciones son al menos ordinales.
  • Cada bloque ha sido expuesto a todos los tratamientos.

• Post-hoc: Si la prueba de Friedman resulta significativa, se pueden realizar pruebas de comparaciones múltiples (por ejemplo, pruebas de Wilcoxon con corrección de Bonferroni) para identificar cuáles tratamientos difieren entre sí.

Espero que este ejemplo te haya sido útil para comprender cómo aplicar la prueba de Friedman tanto manualmente como en R.