Understanding Linear Programming: Matt Free’s Software Production

Doğrusal Programlama
Matt Free bir yazılım geliştirme şirketinin sahibidir. Bir ürün grubu, virüsleri tespit eden ve
ortadan kaldıran yazılımlar tasarlamayı ve üretmeyi içeriyor. Yazılım iki formatta geliyor:
Windows ve Mac versiyonları. Üretebildiği tüm bu ürünleri satabilir, bu da onun ikilemidir. İki
format da aynı üretim departmanlarından geçiyor. Kârını maksimize etmek için her türden kaç
tane üretmelidir?
Free’nin operasyonuna yakından baktığımızda, kaynak tahsisi ikilemini çözmek için doğrusal
programlama adı verilen matematiksel bir teknik kullanabileceğini görüyoruz. Göstereceğimiz gibi,
doğrusal programlama bu soruna uygulanabilir, ancak tüm kaynak tahsisi durumlarına
uygulanamaz. Sınırlı kaynaklar ve optimizasyon hedefi gerektirmesinin yanı sıra, bir dizi çıktı
karışımı üretmek için kaynakları birleştirmenin alternatif yollarının olmasını gerektirir.
Değişkenler arasında doğrusal bir ilişki de gereklidir; bu da bir değişkendeki değişikliğe
diğerinde tam orantılı bir değişikliğin eşlik edeceği anlamına gelir. Free’nin işi için bu koşul,
formattan bağımsız olarak iki disket üretmenin bir disket üretmenin tam iki katı zaman alması
halinde sağlanmış olacaktır.
Doğrusal programlama ile pek çok farklı türde problem çözülebilir. Nakliye maliyetlerini en
aza indiren nakliye rotalarının seçilmesi, sınırlı bir reklam bütçesinin çeşitli ürün markaları
arasında paylaştırılması, projeler arasında optimum personel atamasının yapılması ve sınırlı
sayıda kaynakla her bir üründen ne kadar üretileceğinin belirlenmesi bunlardan sadece birkaçıdır.
Doğrusal programlamanın ne kadar faydalı olduğu konusunda size bir fikir vermek için Free’nin
durumuna geri dönelim. Neyse ki, Free’nin problemi nispeten basit, bu yüzden oldukça hızlı bir
şekilde çözebiliriz. Karmaşık doğrusal programlama problemleri için, bilgisayar yazılımları
çözüm geliştirmeye yardımcı olmak üzere özel olarak tasarlanmıştır.Exhibit QM-5 Virüs Yazılımı için Üretim Verileri
BIRIM BAŞINA GEREKEN SAAT SAYISI
DEPARTMAN WINDOWS
SÜRÜMÜ
MAC
SÜRÜM
Ü
AYLIK ÜRÜN
KAPASITESI (SAAT)
Tasarım 4 6 2,400
Üretim 2.0 2.0 900
Birim başına kâr $18 $24
Öncelikle, işle ilgili bazı gerçekleri ortaya koymamız gerekiyor. Kar marjlarını Windows
formatı için 18 $ ve Mac için 24 $ olarak hesaplamıştır. Bu nedenle, amaç fonksiyonunu
maksimum kar = $18R + $24S olarak ifade edebilir; burada R üretilen Windows tabanlı CD
sayısı ve S Mac CD sayısıdır. Buna ek olarak, her bir formatın üretiminin ne kadar sürdüğünü ve
virüs yazılımı için aylık üretim kapasitesini bilmektedir: tasarımda 2.400 saat ve üretimde 900
saat (bkz. Ek QM-5). Üretim kapasitesi sayıları, toplam kapasitesi üzerinde kısıtlamalar olarak
işlev görür. Şimdi Free kısıt denklemlerini oluşturabilir:
4R + 6S 6 2,400
2R + 2S 6 900
Elbette, bir yazılım formatı sıfırdan daha az bir hacimde üretilemeyeceği için, Matt R > 0 ve
S > 0 olduğunu da belirtebilir. Çözümünü Ek QM-6’da gösterildiği gibi grafiklendirmiştir. Bej
gölgeli alan, herhangi bir departmanın kapasitesini aşmayan seçenekleri temsil etmektedir. Grafik
ne anlama geliyor? Toplam tasarım kapasitesinin 2.400 saat olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla Matt
sadece Windows formatını tasarlamaya karar verirse, üretebileceği maksimum sayı 600’dür
(2.400 saat, her bir Windows sürümü için tasarım saati). Tüm Mac sürümlerini üretmeye karar
verirse, üretebileceği maksimum sayı 400’dür (2.400 saat , Mac için 6 saatlik tasarım). Bu
tasarım kısıtı Ek QM-6’da BC satırı olarak gösterilmektedir. Matt’in karşı karşıya olduğu diğer
kısıt ise üretim kısıtlamasıdır. Her iki formattan da en fazla 450 adet üretebilir çünkü her birinin
kopyalanması, doğrulanması ve paketlenmesi iki saat sürer. Bu üretim kısıtı sergide DE satırı
olarak gösterilmiştir.
Free’nin optimal kaynak tahsisi bu fizibilite bölgesinin (ACFD alanı) köşelerinden birinde
tanımlanacaktır. F noktası, belirtilen kısıtlamalar dahilinde maksimum karı sağlar. A noktasında
kâr sıfır olacaktır çünkü hiçbir virüs yazılımı sürümü
Ek QM-6
Mac Birimi Sayısı
800
700
600
500
400
300
200
100
E
C
F
A D B
100 200 300 400 500 600
Pencere Ünitesi Sayısı
Kantitatif Modül 99
üretilmiştir. C ve D noktalarında karlar sırasıyla 9.600 $ (400 birim @ 24 $) ve 8.100 $ (450 birim
@ 18 $) olacaktır. F noktasında kâr 9.900 $ (150 Windows birimi @ 18 $) olacaktır.

• 300 Mac birimi @ 24 $).3 ben bu anlattıklarından hiçbir şey anlamadım bana bunu açıklayıcı bir şekilde anlat günlük hayattan örnekler ver

tamam da bir yazılımı bir kez üretirsin sonra istediğin kadar kopya satarsın

tamam bu doğrusal programlamayı bana detaylıca akademik bir dille anlat ama akademik dil aağır olmasın olabildiğince basit ve detaylı şekilde anlat resmi dil ile değil arkadaş canlısı bir dil kullan

Doğrusal programlamanın gerçek hayattan örneklerini görmek istiyorum

Kuyruk Teorisi
Bank of America’nın Cleveland, Ohio dışındaki bir şubesinin yöneticisisiniz. Vermeniz gereken
kararlardan biri, herhangi bir zamanda altı vezne istasyonundan kaç tanesini açık tutacağınızdır.
Kuyruk teorisi ya da sıklıkla bekleme hattı teorisi olarak adlandırılan teori karar vermenize
yardımcı olabilir. Bekleme hattına sahip olmanın maliyeti ile bu hattı korumak için gereken
hizmet maliyetinin dengelenmesini içeren bir karar kuyruk teorisi ile daha kolay verilebilir. Bu
tür genel durumlar arasında benzin istasyonlarında kaç adet benzin pompasına, banka gişelerinde
kaç adet veznedara, otoyol gişelerinde kaç adet gişe görevlisine ya da uçak bileti gişelerinde kaç
adet check-in sırasına ihtiyaç duyulduğunun belirlenmesi yer alır. Her durumda, yönetim
mümkün olduğunca az sayıda istasyonu açık tutarak maliyeti en aza indirmek ister, ancak bu sayı
müşterilerin sabrını sınayacak kadar az olmamalıdır. Veznedar örneğimizde, belirli günlerde (her
ayın ilk günü ve Cuma günleri gibi), altı pencerenin tamamını açabilir ve bekleme süresini
ya da sadece bir tane açabilir, personel maliyetlerini en aza indirebilir ve isyan riskini göze alabilirsiniz.
Kuyruk teorisinin altında yatan matematik bu kitabın kapsamı dışındadır, ancak teorinin
nasıl çalıştığını basit örneğimizde görebilirsiniz. Sizin için çalışan altı veznedarınız var, ancak
ortalama bir sabah boyunca sadece bir pencere açıkken idare edip edemeyeceğinizi bilmek
istiyorsunuz. Herhangi bir müşterinin sırada sabırla beklemesini bekleyeceğiniz en uzun süreyi
12 dakika olarak kabul ediyorsunuz. Her müşteriye hizmet vermek ortalama 4 dakika sürüyorsa,
sıranın üçten fazla uzamasına izin verilmemelidir (12 dakika , müşteri başına 4 dakika = 3
müşteri). Geçmiş deneyimlerinizden, sabah saatlerinde insanların dakikada ortalama iki kişi
olarak geldiğini biliyorsanız, sırada bekleyen müşterilerin olasılığını (P) aşağıdaki gibi
hesaplayabilirsiniz:
Pn
= c 1 – a
Varış oranı Varış o r a n ı n
b d * c
d
Hizmet oranı
Hizmet oranı
Burada n = 3 müşteri, varış oranı = dakikada 2 ve hizmet oranı = müşteri başına 4 dakikadır.
Bu sayılar yukarıdaki formüle yerleştirildiğinde aşağıdaki sonuç elde edilir:
Pn
= [1 – 2/4] * [2/4]3 = (1/2) * (8/64) = (8/128) =
.0625
.0625’lik bir P ne anlama gelir? Bu size ortalama bir sabah sırasında üçten fazla müşterinin sırada
olma olasılığının 16’da 1 olduğunu söyler. Zamanın yüzde 6’sında sırada dört veya daha fazla
müşteriyle yaşamaya razı mısınız? Eğer öyleyse, bir vezne penceresini açık tutmak yeterli
olacaktır. Değilse, daha fazla vezne personeli görevlendirmeniz gerekecektir.
Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli
Bir bankadan çek siparişi verdiğinizde, yeniden sipariş formunun çek tedarikinizin yaklaşık
üçte ikisi kadar yerleştirildiğini fark ettiniz mi? Bu uygulama, sabit noktalı yeniden sıralama
sisteminin basit bir örneğidir. Sürecin önceden belirlenmiş bir noktasında, sistem envanterin
yenilenmesi gerektiği gerçeğini “işaretlemek” üzere tasarlanmıştır. Amaç, envanter taşıma
maliyetlerini en aza indirirken aynı zamanda envanter kaleminin tükenme olasılığını
sınırlamaktır. Son yıllarda perakende mağazaları bu yeniden sıralama faaliyetini gerçekleştirmek
için bilgisayarlarını giderek daha fazla kullanmaktadır. Yazar kasaları bilgisayarlarına bağlıdır ve
her satış mağazanın envanter kaydını otomatik olarak ayarlar. Bir ürünün envanteri kritik noktaya
ulaştığında, bilgisayar yönetime yeniden sipariş vermesini söyler.
Bir satın alma siparişi için optimum miktarı matematiksel olarak türetmeye yönelik en iyi
bilinen tekniklerden biri ekonomik sipariş miktarı (EOQ) modelidir (bkz. Ek QM-7). EOQ modeli,
sipariş verme ve envanter taşımayla ilgili dört maliyeti dengelemeye çalışır: satın alma maliyetleri
(satın alma fiyatı artı teslimat ücretleri eksi indirimler), sipariş maliyetleri (evrak işleri, takip, ürün
geldiğinde inceleme ve diğer işlem maliyetleri), taşıma maliyetleri (envantere bağlı para,
depolama, sigorta, vergiler vb.) ve stoksuz kalma maliyetleri (kaybedilen siparişlerden vazgeçilen
karlar,
kuyruk teorisi
Bekleme hattı teorisi olarak da bilinen bu teori,
bekleme hattına sahip olmanın maliyeti ile hattın
bakım maliyetini dengelemenin bir yoludur.
Yönetim, müşterilerinin sabrını sınamadan
maliyetleri en aza indirmek için mümkün olduğunca
az sayıda istasyonun açık olmasını ister.
sabit noktalı yeniden sıralama
sistemi
Sürecin önceden belirlenmiş bir noktasında
envanterin yeniden sipariş edilmesi ihtiyacını
“işaretlemek” için bir sistem yöntemi
ekonomik sipariş miktarı
(EOQ)
Envanterin sipariş edilmesi ve taşınmasıyla ilgili
maliyetleri dengelemeyi ve böylece taşıma ve sipariş
maliyetleriyle ilişkili toplam maliyetleri en aza
indirmeyi amaçlayan bir model
100 Bölüm 2 – Planlama
Ek QM-7
Toplam
maliyetler
Maliye
Taşıma
maliyetleri
tler
Sipariş
maliyetleri
En ekonomik
sipariş boyutu
O Q
Sipariş Miktarı
iyi niyeti yeniden tesis etme maliyeti ve geç sevkiyatları hızlandırmak için yapılan ek masraflar). Bu dört
maliyet bilindiğinde, model her bir satın alma için en uygun sipariş boyutunu belirler.
Ekonomik sipariş miktarı (EOQ) modelinin amacı, taşıma ve sipariş maliyetleriyle ilişkili
toplam maliyetleri en aza indirmektir. Sipariş edilen miktar arttıkça, ortalama envanter ve
dolayısıyla taşıma maliyetleri de artar. Örneğin, bir envanter kalemi için yıllık talep 26.000
birimse ve bir firma her seferinde 500 sipariş veriyorsa, firma yılda 52 [26.000/500] sipariş
verecektir. Bu sipariş sıklığı, kuruluşa ortalama 250 [500/2] birimlik bir envanter verir. Sipariş
miktarı 2.000 birime çıkarılırsa, daha az sipariş (13) [26.000/2.000] verilecektir. Ancak, eldeki
ortalama envanter 1.000 [2.000/2] birime yükselecektir. Dolayısıyla, elde tutma maliyetleri
arttıkça sipariş maliyetleri düşer ve bunun tersi de geçerlidir. Optimum ekonomik sipariş
miktarına toplam maliyet eğrisi üzerindeki en düşük noktada ulaşılır. Bu, sipariş maliyetlerinin
taşıma maliyetlerine eşit olduğu noktadır – ya da ekonomik sipariş miktarıdır (bkz. Ek QM-7’deki
Q noktası).
Bu optimal sipariş miktarını hesaplamak için aşağıdaki verilere ihtiyacınız vardır: dönem
boyunca ürün için tahmin edilen talep (D); her bir siparişi vermenin maliyeti (OC); ürünün değeri
veya satın alma fiyatı (V); ve toplam envanteri korumanın taşıma maliyeti (yüzde olarak ifade
edilir) (CC). Bu veriler göz önüne alındığında, EOQ formülü aşağıdaki gibidir:
2 * D * OC
EOQ =
A V * CC
EOQ’nun belirlenmesine ilişkin bir örnek üzerinde çalışalım. Örneğin, yüksek kaliteli ses ve
video ekipmanı perakendecisi Barnes Electronics’i ele alalım. Şirketin sahibi Sam Barnes, yüksek
kaliteli ses ve görüntü ekipmanlarının ekonomik sipariş miktarlarını belirlemek istemektedir. Söz
konusu ürün bir Sony kompakt ses kayıt cihazıdır. Barnes yılda 4.000 adet satış öngörmektedir.
Ses sistemi için maliyetin 50 $ olması gerektiğine inanmaktadır. Bu sistemler için sipariş
vermenin tahmini maliyetleri sipariş başına 35 dolar ve kayıt cihazının değerinin yüzde 20’si
oranında yıllık sigorta, vergi ve diğer taşıma maliyetleridir. EOQ formülünü ve önceki bilgileri
kullanarak EOQ’yu aşağıdaki gibi hesaplayabilir:
EOQ =
2 * 4,000 * 35
A 50 *
.20
EOQ = 228.000
EOQ = 167,33 veya 168 birim
Kantitatif Modül 101
Envanter modeli, yaklaşık 168 kayıt cihazından oluşan miktarlarda veya lotlarda sipariş
vermenin en ekonomik yöntem olduğunu göstermektedir. Başka bir ifadeyle, Barnes yılda
yaklaşık 24[4.000/168] kez sipariş vermelidir. Ancak, tedarikçi Barnes’a minimum 250 birimlik
miktarlarda satın alması halinde alımlarda yüzde 5 indirim teklif ederse ne olur? Şimdi 168 adet
mi yoksa 250 adet mi satın almalıdır? İndirim olmasaydı ve her seferinde 168 adet sipariş
verseydi, bu kayıt cihazlarının yıllık maliyetleri aşağıdaki gibi olurdu:
250 adet sipariş için yüzde 5 indirim yapıldığında, ürün maliyeti [50 $ * (50 $ * .05)]
47,5 $ olacaktır.
Satın alma maliyeti: Taşıma maliyeti (ortalama envanter birimi sayısı
$50 * $4,000= $200,000
168>2 * $50 * .2 = 840
çarpı kalem değeri çarpı yüzde):
Sipariş maliyetleri (sipariş sayısı çarpı 24 * $35= 840
sipariş verin):
Toplam maliyet:
= $201,680
Yıllık envanter maliyetleri aşağıdaki gibi olacaktır:
Satın alma maliyeti: Taşıma
maliyeti:
Sipariş
maliyeti:
Toplam
maliyet:
$47 .50 * $4,000 = $190,000 .00
250>2 * $47.50 * .2 = 1,187.50
16 * $35= 560.00
= $191,747.50
Bu hesaplamalar Barnes’a yüzde 5’lik indirimden yararlanması gerektiğini göstermektedir.
Artık daha büyük miktarlarda stok yapmak zorunda olsa da, yıllık tasarruf yaklaşık 10.000 $’a
ulaşmaktadır. Bununla birlikte, bir uyarı notu eklemek gerekir. EOQ modeli talebin ve teslim
sürelerinin bilindiğini ve sabit olduğunu varsayar. Eğer bu koşullar sağlanamıyorsa, model
kullanılmamalıdır. Örneğin, üretilen bileşen envanteri için genellikle kullanılmamalıdır, çünkü
bileşenler sabit bir oranda değil, bir kerede, topaklar halinde veya tek partiler halinde stoktan
çıkarılır. Bu uyarı, de- mand değişken olduğunda EOQ modelinin işe yaramaz olduğu anlamına
mı gelir? Hayır. Model, maliyetlerdeki değiş tokuşları ve parti büyüklüklerini kontrol etme
ihtiyacını göstermede hala bir miktar faydalı olabilir. Ancak, talep ve özel durumların ele
alınması için daha sofistike parti boyutlandırma modelleri mevcuttur. EOQ’nun matematiği,
kuyruk teorisinin matematiği gibi, bu metnin kapsamının çok ötesindedir. şimdi burada yazılan şeyleri bana basitleştirerek detaylıca açıkla ve günlük hayattan örnekler de var