решай каждый номер отдельно и спрашивай продолжить или нет
Давайте начнем с первого задания.
1. Вычислите предел функции:
[
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x + 3} – \sqrt{5}}{x – 1}
]
Шаги решения:
-
Подставим (x = 1) в выражение:
[
\frac{\sqrt{2(1) + 3} – \sqrt{5}}{1 – 1} = \frac{\sqrt{5} – \sqrt{5}}{0} = \frac{0}{0}
]
Это неопределенность, нужно использовать правило Лопиталя или преобразовать выражение. -
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
[
\frac{(\sqrt{2x + 3} – \sqrt{5})(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{5})}{(x – 1)(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{5})} = \frac{2x + 3 – 5}{(x – 1)(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{5})}
]
Упрощаем:
[
= \frac{2x – 2}{(x – 1)(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{5})} = \frac{2(x – 1)}{(x – 1)(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{5})}
]
Сократим (x – 1):
[
= \frac{2}{\sqrt{2x + 3} + \sqrt{5}}
] -
Подставляем (x = 1):
[
= \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
]
Ответ:
[
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x + 3} – \sqrt{5}}{x – 1} = \frac{1}{\sqrt{5}}
]
Хотите продолжить к следующему заданию?
ты читаешь не правильно
Извините за недоразумение! Давайте разберем задания по порядку.
1. Вычислите предел функции:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5 + x} – \sqrt{5}}{x}
]
Шаги решения:
-
Подставим (x = 0):
[
\frac{\sqrt{5 + 0} – \sqrt{5}}{0} = \frac{\sqrt{5} – \sqrt{5}}{0} = \frac{0}{0}
]
Это неопределенность, используем правило Лопиталя. -
Применим правило Лопиталя:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{5 + x}}}{1} = \frac{1}{2\sqrt{5}}
]
Ответ:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{5 + x} – \sqrt{5}}{x} = \frac{1}{2\sqrt{5}}
]
Хотите продолжить к следующему заданию?
вычисли
Давайте вычислим предел функции, представленный в вашем изображении:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{27 + x} – \sqrt[3]{27 – x}}{x + 2\sqrt[3]{x^4}}
]
Шаги решения:
-
Подстановка: Сначала подставим (x = 0):
[
\frac{\sqrt[3]{27 + 0} – \sqrt[3]{27 – 0}}{0 + 2\sqrt[3]{0^4}} = \frac{\sqrt[3]{27} – \sqrt[3]{27}}{0} = \frac{3 – 3}{0} = \frac{0}{0}
]
Это неопределенность, поэтому можем использовать правило Лопиталя или преобразовать выражение. -
Применение правила Лопиталя: Для этого найдем производные числителя и знаменателя.
-
Числитель:
[
\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{27 + x}) = \frac{1}{3(27 + x)^{2/3}} \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{27 – x}) = -\frac{1}{3(27 – x)^{2/3}}
]
Таким образом,
[
\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{27 + x} – \sqrt[3]{27 – x}) = \frac{1}{3(27 + x)^{2/3}} + \frac{1}{3(27 – x)^{2/3}}
] -
Знаменатель:
[
\frac{d}{dx}(x + 2\sqrt[3]{x^4}) = 1 + 2 \cdot \frac{4}{3} x^{1/3} = 1 + \frac{8}{3} x^{1/3}
]
-
-
Применим правило Лопиталя:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3(27 + x)^{2/3}} + \frac{1}{3(27 – x)^{2/3}}}{1 + \frac{8}{3} x^{1/3}}
]Подставляем (x = 0):
[
= \frac{\frac{1}{3(27)^{2/3}} + \frac{1}{3(27)^{2/3}}}{1 + 0} = \frac{\frac{1}{3 \cdot 9} + \frac{1}{3 \cdot 9}}{1} = \frac{\frac{2}{27}}{1} = \frac{2}{27}
]
Ответ:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{27 + x} – \sqrt[3]{27 – x}}{x + 2\sqrt[3]{x^4}} = \frac{2}{27}
]
Хотите продолжить к следующему заданию?
